Упр.41.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию $$f'(x)а) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x$$, $$g(x)=\frac{1}{2}x+61$$;
б) $$f(x)=x\cos x$$, $$g(x)=\sin x$$.

а) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\qquad g(x)=\frac12x+61.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$

$$g'(x)=\left(\frac12x+61\right)’=\frac12.$$

Тогда

$$f'(x)\le g'(x)\iff \cos 2x\le \frac12.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$2$$:

$$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=x\cos x,\qquad g(x)=\sin x.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=(x)’\cos x+x(\cos x)’=\cos x-x\sin x,$$

$$g'(x)=(\sin x)’=\cos x.$$

Тогда

$$f'(x)\le g'(x)\iff \cos x-x\sin x\le \cos x\iff -x\sin x\le 0,$$

то есть

$$x\sin x\ge 0.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$x>0,$$ то $$\sin x\ge 0,$$ значит $$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z;$$
• если $$x<0,$$ то $$\sin x\le 0,$$ значит $$-\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,\ -\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$