Упр.41.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=g(x)$$ больше скорости изменения функции $$y=h(x)$$:

а) $$g(x)=x^3-3x^2$$, $$h(x)=1{,}5x^2-9$$;

б) $$g(x)=\operatorname{tg}x$$, $$h(x)=4x-81$$?

Скорость изменения функции в данной точке равна её производной, поэтому нужно решить неравенство $$g'(x)>h'(x).$$

а)

$$g(x)=x^3-3x^2,\qquad h(x)=1{,}5x^2-9.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=3x^2-6x,$$

$$h'(x)=3x.$$

Тогда

$$3x^2-6x>3x,$$

$$3x^2-9x>0,$$

$$3x(x-3)>0.$$

Произведение положительно, если оба множителя одного знака:

$$x<0 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty).$$

б)

$$g(x)=\tg x,\qquad h(x)=4x-81.$$

Найдём производные:

$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},$$

$$h'(x)=4.$$

Решаем неравенство:

$$\frac{1}{\cos^2 x}>4.$$

Так как $$\cos^2 x>0,$$ умножим на $$\cos^2 x$$:

$$1>4\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x<\frac14,$$

$$|\cos x|<\frac12.$$

Отсюда

$$-\frac12<\cos x<\frac12.$$

С учётом области определения функции $$\tg x$$, то есть $$\cos x\ne 0,$$ получаем:

$$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{2\pi}{3}+\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$