Упр.41.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Найдём производные функций:

$$f'(x)=(\cos x)’=-\sin x,$$

$$g'(x)=(\sin x)’=\cos x.$$

Скорости изменения одинаковы, когда производные равны:

$$-\sin x=\cos x.$$

Тогда

$$\sin x+\cos x=0,$$

$$\cos x\neq 0,\quad \tg x=-1.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Найдём производные функций:

$$f'(x)=(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x},$$

$$g'(x)=(-\ctg x)’=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Приравняем их:

$$\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Тогда

$$\sin^2 x=\cos^2 x,$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x=0,$$

$$\cos 2x=0.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}n,\ n\in\mathbb{Z}.$$