Упр.41.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $$y=f(x)$$ равна скорости изменения функции $$y=g(x)$$: а) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2$$, $$g(x)=7{,}5x^2-16x$$; б) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$g(x)=-\frac{1}{x}$$?

Скорости изменения функций одинаковы при тех значениях аргумента, при которых равны их производные.

а) $$f(x)=\frac13x^3-x^2,\qquad g(x)=7{,}5x^2-16x.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=\left(\frac13x^3-x^2\right)’=x^2-2x,$$

$$g'(x)=\left(7{,}5x^2-16x\right)’=15x-16.$$

Приравняем их:

$$x^2-2x=15x-16,$$

$$x^2-17x+16=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=17^2-4\cdot 16=289-64=225,$$

$$x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{2}.$$

Тогда

$$x_1=1,\qquad x_2=16.$$

б) $$f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=-\frac1x.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac1{2\sqrt{x}},$$

$$g'(x)=\left(-\frac1x\right)’=\frac1{x^2}.$$

Приравняем их:

$$\frac1{2\sqrt{x}}=\frac1{x^2}.$$

Умножим на $$2x^2\sqrt{x}$$:

$$x^2=2\sqrt{x}.$$

Положим $$\sqrt{x}=t$$, тогда $$x=t^2$$. Получаем:

$$t^4=2t,$$

$$t(t^3-2)=0.$$

Так как $$x>0$$, то $$t>0$$, значит

$$t^3=2,\qquad t=\sqrt[3]{2}.$$

Тогда

$$x=t^2=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2=\sqrt[3]{4}.$$

Ответ

а) $$1,\ 16$$; б) $$\sqrt[3]{4}$$.