Упр.41.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$

Тогда

$$f'(x)=(\cos x)’=-\sin x.$$

Найдём, где производная положительна:

$$-\sin x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin x<0.$$

Синус отрицателен в III и IV четвертях, поэтому

$$x\in(2\pi n-\pi;\,2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac12-\frac12\cos x.$$

Тогда

$$f'(x)=\left(\frac12-\frac12\cos x\right)’=\frac12\sin x.$$

Найдём, где производная положительна:

$$\frac12\sin x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin x>0.$$

Синус положителен в I и II четвертях, поэтому

$$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(2\pi n-\pi;\,2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$