Упр.41.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство $$f(x)>0$$:

а) $$f(x)=x^3+x^4$$;

б) $$f(x)=\frac{4}{2-5x}$$.

а) $$f'(x)=\left(x^3+x^4\right)’=3x^2+4x^3=x^2(3+4x).$$

Решаем неравенство:

$$x^2(3+4x)>0.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то произведение положительно при $$x\ne 0$$ и $$3+4x>0.$$

Отсюда

$$x>-\frac34,\quad x\ne 0.$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty).$$

б) $$f(x)=\frac{4}{2-5x}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{4}{2-5x}\right)’=\frac{4\cdot(2-5x)’}{(2-5x)^2}=\frac{4\cdot 5}{(2-5x)^2}=\frac{20}{(2-5x)^2}.$$

Так как $$20>0,$$ а $$\left(2-5x\right)^2>0$$ при всех допустимых $$x,$$ то

$$f'(x)>0$$ при всех $$x\ne \frac25.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac34;0\right)\cup(0;+\infty);$$ б) $$x\in\left(-\infty;\frac25\right)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$