Упр.41.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$f(x)=\sin 2x$$; б) $$f(x)=-4\cos x+2x$$.

а) $$f(x)=\sin 2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(\sin 2x)’=2\cos 2x.$$

Требуется, чтобы функция убывала, то есть

$$2\cos 2x<0,$$

откуда

$$\cos 2x<0.$$

Косинус отрицателен во II и III четвертях, значит

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим неравенство на $$2$$:

$$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$f(x)=-4\cos x+2x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=(-4\cos x)’ + (2x)’ = 4\sin x+2.$$

Требуется

$$4\sin x+2<0,$$

то есть

$$\sin x<-\frac12.$$

Синус меньше $$-\frac12$$ на промежутке

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi n;\,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left(-\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\frac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$