Упр.41.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство $$f'(x)<0$$:

1. $$f(x)=x^3-16$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{5}x^3-\frac{5}{3}x^3+6x$$.

Найдём производные и решим неравенство $$f'(x)<0.$$

а) $$f(x)=x^3-x^4.$$

Тогда

$$f'(x)=3x^2-4x^3.$$

Решаем неравенство:

$$3x^2-4x^3<0$$

$$x^2(3-4x)<0.$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то произведение отрицательно, когда

$$3-4x<0,$$

откуда

$$x>\frac34.$$

б) $$f(x)=\frac15x^5-\frac53x^3+6x.$$

Тогда

$$f'(x)=x^4-5x^2+6.$$

Решаем неравенство:

$$x^4-5x^2+6<0.$$

Пусть $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-5t+6<0,$$

$$(t-2)(t-3)<0.$$

Отсюда

$$2<t<3.$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

$$2<x^2<3,$$

то есть

$$-\sqrt3<x<-\sqrt2 \quad \text{или} \quad \sqrt2<x<\sqrt3.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac34;+\infty\right);$$

б) $$x\in\left(-\sqrt3;-\sqrt2\right)\cup\left(\sqrt2;\sqrt3\right).$$