Упр.41.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$f(x)=2$$, если известно, что $$f(x)=2\sqrt{x}-5x+3$$?

б) При каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$f(x)=1$$, если известно, что $$f(x)=3x-\sqrt{x}+13$$?

Найдём значения $$x$$, при которых производная функции равна заданному числу.

а)

$$f(x)=2\sqrt{x}-5x+3,$$ тогда

$$f'(x)=\left(2\sqrt{x}\right)’-(5x)’=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-5=\frac{1}{\sqrt{x}}-5.$$

По условию $$f'(x)=2$$, значит

$$\frac{1}{\sqrt{x}}-5=2$$

$$\frac{1}{\sqrt{x}}=7$$

$$\sqrt{x}=\frac{1}{7}$$

$$x=\left(\frac{1}{7}\right)^2=\frac{1}{49}.$$

б)

$$f(x)=3x-\sqrt{x}+13,$$ тогда

$$f'(x)=(3x)’-\left(\sqrt{x}\right)’=3-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

По условию $$f'(x)=1$$, значит

$$3-\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

$$2\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

$$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$$

$$x=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{49}$$; б) $$x=\frac{1}{16}$$.