Упр.41.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ касательные к графикам функций $$y=f(x)$$, $$y=h(x)$$ в точке $$x=a$$ не имеют общих точек: а) $$f(x)=x^7$$, $$h(x)=x^8$$; б) $$f(x)=x^2+x+3$$, $$h(x)=x^3$$?

Касательные к графикам функций в точке $$x=a$$ не имеют общих точек, если они параллельны, то есть их угловые коэффициенты равны.

а)

$$f(x)=x^7,\qquad h(x)=x^8$$

Найдём производные:

$$f'(x)=7x^6,\qquad h'(x)=8x^7$$

Приравняем угловые коэффициенты касательных в точке $$x=a$$:

$$7a^6=8a^7$$

$$a^6(7-8a)=0$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac{7}{8}$$

При $$a=0$$ касательные совпадают, поэтому общие точки есть. Значит, подходит только

$$a=\frac{7}{8}$$

б)

$$f(x)=x^2+x+3,\qquad h(x)=x^3$$

Найдём производные:

$$f'(x)=2x+1,\qquad h'(x)=3x^2$$

Приравняем их:

$$2a+1=3a^2$$

$$3a^2-2a-1=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16$$

$$a_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$

$$a_1=1,\qquad a_2=-\frac{1}{3}$$

Оба значения подходят.

Ответ

а) $$a=\frac{7}{8}$$; б) $$a=-\frac{1}{3},\ 1$$.