Упр.41.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$f(x)=10-\cos x,\quad x_0=\frac{3\pi}{2}$$; б) $$f(x)=2\tg x,\quad x_0=6\pi$$; в) $$f(x)=4-\sin x,\quad x_0=6\pi$$; г) $$f(x)=-4\ctg x,\quad x_0=-\frac{\pi}{4}$$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $$x$$ равен производной в точке касания, то есть $$\tg \alpha = f'(x_0).$$

1. $$f(x)=10-\cos x,\quad x_0=\frac{3\pi}{2}.$$

   $$f'(x)=(10-\cos x)’=\sin x.$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \frac{3\pi}{2}=-1.$$

2. $$f(x)=2\tg x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   $$f'(x)=(2\tg x)’=\frac{2}{\cos^2 x}.$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{2}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=4.$$

3. $$f(x)=4-\sin x,\quad x_0=6\pi.$$

   $$f'(x)=(4-\sin x)’=-\cos x.$$

   $$\tg \alpha=f'(6\pi)=-\cos 6\pi=-1.$$

4. $$f(x)=-4\ctg x,\quad x_0=-\frac{\pi}{4}.$$

   $$f'(x)=(-4\ctg x)’=\frac{4}{\sin^2 x}.$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{4}{\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=8.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$4$$; в) $$-1$$; г) $$8$$.