Упр.41.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной в данной точке.

а) $$f(x)=\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}, \qquad k=-\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Используем формулу $$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x.$$ Тогда

$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x,$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cos x.$$

Приравниваем производную к угловому коэффициенту:

$$\frac{1}{2}\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{4},$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$f(x)=\cos^2 \frac{x}{2}, \qquad k=\frac{1}{2}.$$

Преобразуем функцию:

$$f(x)=\frac{1+\cos x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x.$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{1}{2}\sin x.$$

Приравниваем к заданному угловому коэффициенту:

$$-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2},$$

$$\sin x=-1.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$