Упр.41.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ и осью $$x$$:
   
   а) $$f(x)=x^6-4x$$, $$x_0=1$$;
   
   б) $$f(x)=\sqrt{x}-3$$, $$x_0=$$;
   
   в) $$f(x)=-x^5-2x^2+2$$, $$x_0=-1$$;
   
   г) $$f(x)=\frac{25}{x}+2$$, $$x_0=\frac{5}{4}$$.

Тангенс угла между касательной к графику функции и положительным направлением оси $$x$$ равен производной в точке касания: $$\tg \alpha = f'(x_0).$$

1. $$f(x)=x^6-4x,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=6x^5-4.$$

   $$\tg \alpha=f'(1)=6\cdot 1^5-4=2.$$

2. $$f(x)=\sqrt{x}-3,\quad x_0=\frac14.$$

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\sqrt{1/4}}=\frac{1}{2\cdot 1/2}=1.$$

3. $$f(x)=-x^5-2x^2+2,\quad x_0=-1.$$

   $$f'(x)=-5x^4-4x.$$

   $$\tg \alpha=f'(-1)=-5\cdot(-1)^4-4\cdot(-1)=-5+4=-1.$$

4. $$f(x)=\frac{25}{x}+2,\quad x_0=\frac54.$$

   $$f'(x)=-\frac{25}{x^2}.$$

   $$\tg \alpha=f’\!\left(\frac54\right)=-\frac{25}{(5/4)^2}=-\frac{25}{25/16}=-16.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$-1$$; г) $$-16$$.