Упр.41.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ равен $$k$$, если: а) $$f(x)=\sqrt{x}-x$$, $$k=1$$; б) $$f(x)=\sqrt{x}+3x$$, $$k=4$$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке.

1. $$f(x)=\sqrt{x}-x,\quad k=1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$$

   Приравняем к заданному угловому коэффициенту:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

   $$1=4\sqrt{x}$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$$

   $$x=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$$

2. $$f(x)=\sqrt{x}+3x,\quad k=4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3$$

   Приравняем к заданному угловому коэффициенту:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

   $$2\sqrt{x}=1$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

   $$x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Ответ: а) $$\frac{1}{16}$$; б) $$\frac{1}{4}$$.