Упр.41.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных:

а) $$y=x^2-5|x|+6$$, $$x_0=2$$, $$x_1=3$$, $$x_2=0$$;

б) $$y=|x^2-5|x|+6|$$, $$x_0=-2$$, $$x_1=0$$, $$x_2=2{,}5$$.

а) При $$x>0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$y=x^2-5x+6.$$

Тогда

$$y’=(x^2-5x+6)’=2x-5.$$

Вычислим производную в заданных точках:

$$y'(2)=2\cdot 2-5=-1,$$

$$y'(3)=2\cdot 3-5=1.$$

В точке $$x=0$$ функция имеет излом, поэтому производная не существует.

б) Рассмотрим функцию $$y=\left|x^2-5|x|+6\right|.$$

Найдём, где выражение под внешним модулем обращается в нуль:

$$x^2-5|x|+6=0.$$

Положим $$t=|x|$$, тогда

$$t^2-5t+6=0,$$

$$(t-2)(t-3)=0,$$

откуда $$t=2$$ или $$t=3.$$ Значит, точки возможного излома: $$x=\pm 2,\ \pm 3.$$

Для $$x>0$$ функция принимает вид $$y=\left|x^2-5x+6\right|,$$ а в точке $$x=2{,}5$$ имеем

$$x^2-5x+6=2{,}5^2-5\cdot 2{,}5+6=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0,$$

поэтому

$$y=-(x^2-5x+6)=-x^2+5x-6.$$

Тогда

$$y’=(-x^2+5x-6)’=-2x+5,$$

и

$$y'(2{,}5)=-2\cdot 2{,}5+5=0.$$

В точках $$x=-2$$ и $$x=0$$ производная не существует, так как это точки излома графика.

Ответ

а) $$-1,\ 1,\ \text{не существует}$$; б) $$\text{не существует},\ \text{не существует},\ 0$$.