Упр.41.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Существует ли производная заданной функции в точке $$x_0$$? Если да, то вычислите её:
   а) $$y=|x-2|(x-2),\quad x_0=2$$;
   б) $$y=(x+2)|x+2|,\quad x_0=-2$$.

а) При $$x<2$$ имеем $$|x-2|=-(x-2)$$, поэтому

$$y=|x-2|(x-2)=-(x-2)^2.$$

При $$x\ge 2$$

$$y=(x-2)^2.$$

В точке $$x_0=2$$ обе части дают одно и то же значение $$y(2)=0$$, а производные слева и справа равны:

$$\frac{d}{dx}\bigl(-(x-2)^2\bigr)=-2(x-2), \qquad \frac{d}{dx}(x-2)^2=2(x-2).$$

При $$x=2$$ получаем

$$y’_-(2)=0, \qquad y’_+(2)=0.$$

Следовательно, производная существует и

$$y'(2)=0.$$

б) При $$x<-2$$ имеем $$|x+2|=-(x+2)$$, значит

$$y=(x+2)|x+2|=-(x+2)^2.$$

При $$x\ge -2$$

$$y=(x+2)^2.$$

В точке $$x_0=-2$$

$$\frac{d}{dx}\bigl(-(x+2)^2\bigr)=-2(x+2), \qquad \frac{d}{dx}(x+2)^2=2(x+2).$$

Тогда

$$y’_-(-2)=0, \qquad y’_+(-2)=0,$$

значит, производная существует и

$$y'(-2)=0.$$

Ответ

а) $$y'(2)=0$$; б) $$y'(-2)=0$$.