Упр.41.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=x^3+2x,\quad x_0=2$$;
• б) $$y=\sqrt{x+1},\quad x_0=1$$;
• в) $$y=\frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right),\quad x_0=-0{,}5$$;
• г) $$y=2\sin x-4x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$.

Скорость изменения функции равна её производной в данной точке.

1. $$y=x^3+2x,\quad x_0=2$$

   $$y’=(x^3)’+(2x)’=3x^2+2$$

   $$y'(2)=3\cdot 2^2+2=3\cdot 4+2=14$$

2. $$y=\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x},\quad x_0=1$$

   По правилу произведения:

   $$y’=(\sqrt{x+1})’\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\,(\sqrt{x})’$$

   $$y’=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\cdot \sqrt{x}+\sqrt{x+1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

   $$y’=\frac{x+(x+1)}{2\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x}}=\frac{2x+1}{2\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x}}$$

   $$y'(1)=\frac{2\cdot 1+1}{2\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$$

3. $$y=\frac{1}{x}\left(\frac{4}{x}-2\right),\quad x_0=-0{,}5$$

   Раскроем скобки:

   $$y=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x}$$

   Тогда

   $$y’=-\frac{8}{x^3}+\frac{2}{x^2}$$

   $$y'(-0{,}5)=-\frac{8}{(-0{,}5)^3}+\frac{2}{(-0{,}5)^2}=64+8=72$$

4. $$y=2\sin x-4x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$

   $$y’=2\cos x-4$$

   $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{4}-4=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-4=\sqrt{2}-4$$

Ответ: а) $$14$$; б) $$\frac{3\sqrt{2}}{4}$$; в) $$72$$; г) $$\sqrt{2}-4$$.