Упр.41.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции $$y=x^3-3x$$ принимает положительные значения; б) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $$y=x^5-\frac{5}{4}x^4$$ принимает отрицательные значения; в) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $$y=\sqrt{x}+x$$ принимает неотрицательные значения; г) найдите те значения аргумента, при которых производная функции $$y=7\cos x+12$$ принимает неположительные значения.

Найдём производные и решим соответствующие неравенства.

1. $$y=x^3-3x$$

   $$y’=(x^3)’-(3x)’=3x^2-3$$

   Требуется $$y’>0$$:

   $$3x^2-3>0$$

   $$3x^2>3$$

   $$x^2>1$$

   $$|x|>1$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

2. $$y=x^5-\frac54x^4$$

   $$y’=(x^5)’-\frac54(x^4)’=5x^4-5x^3$$

   Требуется $$y'<0$$:

   $$5x^4-5x^3<0$$

   $$5x^3(x-1)<0$$

   $$x^3(x-1)<0$$

   Произведение отрицательно при $$0<x<1$$.

   Значит,

   $$x\in(0;1).$$

3. $$y=\sqrt{x}+x$$

   Область определения: $$x>0$$, так как производная $$\sqrt{x}$$ существует только при $$x>0$$.

   $$y’=\left(\sqrt{x}\right)’+(x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$$

   Требуется $$y’>=0$$:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\ge 0$$

   При $$x>0$$ имеем $$\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$$, значит неравенство выполняется для всех допустимых $$x$$.

   Следовательно,

   $$x\in(0;+\infty).$$

4. $$y=7\cos x+12$$

   $$y’=7(\cos x)’+(12)’=-7\sin x$$

   Требуется $$y'<=0$$:

   $$-7\sin x\le 0$$

   $$\sin x\ge 0$$

   Синус неотрицателен на промежутках

   $$x\in[2\pi n;\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$; б) $$(0;1)$$; в) $$(0;+\infty)$$; г) $$[2\pi n;\pi+2\pi n],\ n\in\mathbb{Z}.$$