Упр.41.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента:

а) $$y=\frac{1}{x^5}-1{,}5x$$;

б) $$y=-\sqrt{x}+14$$;

в) $$y=1{,}4\cos x-3x$$;

г) $$y=\frac{12}{x^7}+29$$.

Найдём производные и покажем, что они отрицательны при всех допустимых значениях аргумента.

1. $$y=\frac{1}{x^5}-1{,}5x$$

   $$y’=\left(x^{-5}\right)’-\left(1{,}5x\right)’=-5x^{-6}-1{,}5=-\frac{5}{x^6}-1{,}5.$$

   Так как $$x^6>0$$ при $$x\ne 0,$$ то $$-\frac{5}{x^6}<0,$$ а также $$-1{,}5<0.$$ Следовательно, $$y'<0$$ при всех допустимых $$x.$$

2. $$y=-\sqrt{x}+14$$

   $$y’=-\left(\sqrt{x}\right)’+(14)’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Область определения: $$x>0.$$ Тогда $$2\sqrt{x}>0,$$ значит

   $$y’=-\frac{1}{2\sqrt{x}}<0.$$

3. $$y=1{,}4\cos x-3x$$

   $$y’=-1{,}4\sin x-3.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$-1{,}4\le -1{,}4\sin x\le 1{,}4.$$

   Тогда

   $$y’=-1{,}4\sin x-3\le 1{,}4-3=-1{,}6<0.$$

   Значит, $$y'<0$$ при всех $$x.$$

4. $$y=\frac{12}{x^7}+29$$

   $$y’=\left(12x^{-7}\right)’+(29)’=12\cdot(-7)x^{-8}=-\frac{84}{x^8}.$$

   При $$x\ne 0$$ имеем $$x^8>0,$$ поэтому

   $$y’=-\frac{84}{x^8}<0.$$

Ответ: во всех пунктах производная отрицательна при всех допустимых значениях аргумента.