Упр.41.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента: а) $$y=3x+12$$; б) $$y=2x^3+15x$$; в) $$y=-2\sin x+4x$$; г) $$y=3x-1{,}5\cos x$$.

Найдём производные данных функций и покажем, что они положительны при всех допустимых значениях аргумента.

1. $$y=3x+12$$

   $$y’=(3x+12)’=3$$

   Так как $$3>0,$$ то $$y’>0$$ при любых $$x.$$

2. $$y=2x^3+15x$$

   $$y’=(2x^3+15x)’=6x^2+15$$

   Поскольку $$6x^2\ge 0,$$ а $$15>0,$$ то $$6x^2+15>0$$ при любых $$x.$$

3. $$y=-2\sin x+4x$$

   $$y’=(-2\sin x+4x)’=-2\cos x+4$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то $$-2\le -2\cos x\le 2.$$ Следовательно,

   $$y’=-2\cos x+4\ge 2>0.$$

4. $$y=3x-1{,}5\cos x$$

   $$y’=(3x-1{,}5\cos x)’=3+1{,}5\sin x$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то $$-1{,}5\le 1{,}5\sin x\le 1{,}5.$$ Тогда

   $$y’=3+1{,}5\sin x\ge 1{,}5>0.$$

Ответ: во всех пунктах производная положительна при любых допустимых значениях $$x.$$