Упр.41.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{\sin x}{x},\ x_0=\frac{\pi}{2}$$

б) $$y=\frac{x+1}{x-1},\ x_0=2$$

в) $$y=\cos x+x,\ x_0=\pi$$

г) $$y=\frac{2x}{x+1},\ x_0=0$$

Найдём производные данных функций и вычислим их значения в указанных точках.

1. $$y=\frac{\sin x}{x}, \quad x_0=\frac{\pi}{2}$$

   По формуле производной частного:

   $$y’=\frac{(\sin x)’ \cdot x-\sin x \cdot (x)’}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$

   Тогда

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}=\frac{0-1}{\pi^2/4}=-\frac{4}{\pi^2}$$

2. $$y=\frac{x+1}{x-1}, \quad x_0=2$$

   $$y’=\frac{(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)’}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\frac{2}{(x-1)^2}$$

   Следовательно,

   $$y'(2)=-\frac{2}{(2-1)^2}=-2$$

3. $$y=\frac{\cos x}{x}, \quad x_0=\pi$$

   $$y’=\frac{(\cos x)’ \cdot x-\cos x \cdot (x)’}{x^2}=\frac{-x\sin x-\cos x}{x^2}=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}$$

   Тогда

   $$y'(\pi)=-\frac{\pi\sin\pi+\cos\pi}{\pi^2}=-\frac{0-1}{\pi^2}=\frac{1}{\pi^2}$$

4. $$y=\frac{2x}{x+1}, \quad x_0=0$$

   $$y’=\frac{(2x)'(x+1)-2x(x+1)’}{(x+1)^2}=\frac{2(x+1)-2x}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$$

   Следовательно,

   $$y'(0)=\frac{2}{(0+1)^2}=2$$

Ответ: а) $$-\frac{4}{\pi^2}$$; б) $$-2$$; в) $$\frac{1}{\pi^2}$$; г) $$2$$.