Упр.41.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$y=\tg x+\sqrt{\pi}\sqrt{x},\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$
   б) $$y=2\ctg x-3\tg x,\quad x_0=\frac{\pi}{3}$$
   в) $$y=\ctg x+\frac{\pi^2}{x},\quad x_0=-\frac{\pi}{6}$$
   г) $$y=(2x+3)^2-4\tg x,\quad x_0=0$$

Найдём производные функций и вычислим их значения в указанных точках.

1. $$y=\tg x+\sqrt{\pi}\cdot\sqrt{x}, \quad x_0=\frac{\pi}{4}.$$

   $$y’=(\tg x)’+\sqrt{\pi}\,(\sqrt{x})’=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\frac{\pi}{4}}} =\frac{1}{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}+\frac{\sqrt{\pi}}{2\cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} =2+1=3.$$

2. $$y=2\ctg x-3\tg x, \quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

   $$y’=2(\ctg x)’-3(\tg x)’=-\frac{2}{\sin^2 x}-\frac{3}{\cos^2 x}.$$

   $$y’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{2}{\sin^2 \frac{\pi}{3}}-\frac{3}{\cos^2 \frac{\pi}{3}} =-\left(\frac{2}{\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}+\frac{3}{\left(\frac12\right)^2}\right) =-\left(\frac{8}{3}+12\right) =-\frac{44}{3}.$$

3. $$y=\ctg x+\frac{\pi^2}{x}, \quad x_0=-\frac{\pi}{6}.$$

   $$y’=(\ctg x)’+\pi^2\left(\frac{1}{x}\right)’=-\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{\pi^2}{x^2}.$$

   $$y’\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sin^2\left(-\frac{\pi}{6}\right)}-\frac{\pi^2}{\left(-\frac{\pi}{6}\right)^2} =-\frac{1}{\left(-\frac12\right)^2}-\frac{\pi^2}{\frac{\pi^2}{36}} =-4-36=-40.$$

4. $$y=(2x+3)^2-4\tg x, \quad x_0=0.$$

   $$y’=2(2x+3)\cdot 2-4(\tg x)’=4(2x+3)-\frac{4}{\cos^2 x}.$$

   $$y'(0)=4(2\cdot 0+3)-\frac{4}{\cos^2 0}=12-4=8.$$

Ответ: а) $$3$$; б) $$-\frac{44}{3}$$; в) $$-40$$; г) $$8$$.