Упр.41.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$y=\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x$$
2. $$y=\sin\frac{x}{3}\cos\frac{2x}{3}+\cos\frac{x}{3}\sin\frac{2x}{3}$$
3. $$y=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x$$
4. $$y=\cos\frac{x}{5}\cos\frac{4x}{5}-\sin\frac{x}{5}\sin\frac{4x}{5}$$

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha-\beta),$$

$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha-\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta).$$

1. $$y=\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=\sin(2x-x)=\sin x.$$

   Тогда

   $$y’=(\sin x)’=\cos x.$$

2. $$y=\sin \frac{x}{3}\cos \frac{2x}{3}+\cos \frac{x}{3}\sin \frac{2x}{3}=\sin\left(\frac{x}{3}+\frac{2x}{3}\right)=\sin x.$$

   Тогда

   $$y’=(\sin x)’=\cos x.$$

3. $$y=\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x=\cos(3x-2x)=\cos x.$$

   Тогда

   $$y’=(\cos x)’=-\sin x.$$

4. $$y=\cos \frac{x}{5}\cos \frac{4x}{5}-\sin \frac{x}{5}\sin \frac{4x}{5}=\cos\left(\frac{x}{5}+\frac{4x}{5}\right)=\cos x.$$

   Тогда

   $$y’=(\cos x)’=-\sin x.$$

Ответ: а) $$y’=\cos x$$; б) $$y’=\cos x$$; в) $$y’=-\sin x$$; г) $$y’=-\sin x$$.