Упр.41 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x}=2-x$$; б) $$\sqrt{7-x}=x-1$$; в) $$\sqrt{x+2}=x$$; г) $$\sqrt{12-x}=x$$.

Решим уравнения, возводя обе части в квадрат и обязательно проверяя найденные корни по области допустимых значений.

1. $$\sqrt{x}=2-x$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x=(2-x)^2$$

   $$x=4-4x+x^2$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=4$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x\ge 0,\qquad 2-x\ge 0 \Rightarrow x\le 2$$

   Подходит только $$x=1$$.

2. $$\sqrt{7-x}=x-1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$7-x=(x-1)^2$$

   $$7-x=x^2-2x+1$$

   $$x^2-x-6=0$$

   $$D=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=3$$

   Проверим ОДЗ:

   $$7-x\ge 0 \Rightarrow x\le 7,\qquad x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$$

   Подходит только $$x=3$$.

3. $$\sqrt{x+2}=x$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+2=x^2$$

   $$x^2-x-2=0$$

   $$D=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=2$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x+2\ge 0,\qquad x\ge 0$$

   Подходит только $$x=2$$.

4. $$\sqrt{12-x}=x$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$12-x=x^2$$

   $$x^2+x-12=0$$

   $$D=49$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}$$

   $$x_1=-4,\quad x_2=3$$

   Проверим ОДЗ:

   $$12-x\ge 0,\qquad x\ge 0$$

   Подходит только $$x=3$$.

Ответ: а) $$1$$; б) $$3$$; в) $$2$$; г) $$3$$.