Упр.41.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{x^3}{2x+4}$$; б) $$y=\frac{x^2}{x^2-1}$$; в) $$y=\frac{x^2}{3-4x}$$; г) $$y=\frac{x}{x^2+1}$$.

1. $$y=\frac{x^3}{2x+4}$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$y’=\frac{(x^3)'(2x+4)-x^3(2x+4)’}{(2x+4)^2} =\frac{3x^2(2x+4)-x^3\cdot 2}{(2x+4)^2}$$
   $$y’=\frac{6x^3+12x^2-2x^3}{(2x+4)^2} =\frac{4x^3+12x^2}{(2x+4)^2} =\frac{4x^2(x+3)}{4(x+2)^2} =\frac{x^2(x+3)}{(x+2)^2}$$

2. $$y=\frac{x^2}{x^2-1}$$

   Тогда

   $$y’=\frac{(x^2)'(x^2-1)-x^2(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-x^2\cdot 2x}{(x^2-1)^2}$$
   $$y’=\frac{2x^3-2x-2x^3}{(x^2-1)^2} =-\frac{2x}{(x^2-1)^2}$$

3. $$y=\frac{x^2}{3-4x}$$

   По формуле производной частного:

   $$y’=\frac{(x^2)'(3-4x)-x^2(3-4x)’}{(3-4x)^2} =\frac{2x(3-4x)-x^2(-4)}{(3-4x)^2}$$
   $$y’=\frac{6x-8x^2+4x^2}{(3-4x)^2} =\frac{6x-4x^2}{(3-4x)^2} =\frac{2x(3-2x)}{(3-4x)^2}$$

4. $$y=\frac{x}{x^2+1}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}$$
   $$y’=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$