Упр.40.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке $$x$$: а) $$y=x^2+2x$$; б) $$y=\frac{1}{x}$$; в) $$y=3x^2-4x$$; г) $$y=\frac{4}{x}$$.

Найдём производные по определению.

1. $$y=x^2+2x$$

   $$f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^2+2(x+\Delta x)=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2+2x+2\Delta x$$
   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2x\Delta x+(\Delta x)^2+2\Delta x$$
   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x+2$$
   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x+2)=2x+2$$

2. $$y=\frac{1}{x}$$

   $$f(x+\Delta x)=\frac{1}{x+\Delta x}$$
   $$\Delta y=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$
   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{1}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{1}{x^2}$$

3. $$y=3x^2-4x$$

   $$f(x+\Delta x)=3(x+\Delta x)^2-4(x+\Delta x)=3x^2+6x\Delta x+3(\Delta x)^2-4x-4\Delta x$$
   $$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=6x\Delta x+3(\Delta x)^2-4\Delta x$$
   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=6x+3\Delta x-4$$
   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}(6x+3\Delta x-4)=6x-4$$

4. $$y=\frac{4}{x}$$

   $$f(x+\Delta x)=\frac{4}{x+\Delta x}$$
   $$\Delta y=\frac{4}{x+\Delta x}-\frac{4}{x}=\frac{4x-4(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{4\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$
   $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{4}{x(x+\Delta x)}$$
   $$y’=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{4}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{4}{x^2}$$

Ответ: $$y’=2x+2,\quad y’=-\frac{1}{x^2},\quad y’=6x-4,\quad y’=-\frac{4}{x^2}.$$