Упр.40.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Закон движения точки по прямой задаётся формулой $$s(t)=2t^2+t$$, где $$t$$ — время (в секундах), $$s(t)$$ — отклонение точки в момент времени $$t$$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $$t_1=0\ \text{с}$$ до момента: а) $$t_2=0{,}6\ \text{с}$$; б) $$t_2=0{,}2\ \text{с}$$; в) $$t_2=0{,}5\ \text{с}$$; г) $$t_2=0{,}1\ \text{с}$$. Вычислите мгновенную скорость точки в момент $$t=1\ \text{с}$$.

Средняя скорость на промежутке $$[0;t_2]$$ равна

$$v_{\text{ср}}=\frac{s(t_2)-s(0)}{t_2-0}.$$

Так как $$s(t)=2t^2+t,$$ то $$s(0)=0.$$

1. При $$t_2=0{,}6$$:

   $$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 0{,}6^2+0{,}6}{0{,}6}=\frac{0{,}72+0{,}6}{0{,}6}=\frac{1{,}32}{0{,}6}=2{,}2\ \text{м/с}.$$

2. При $$t_2=0{,}2$$:

   $$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 0{,}2^2+0{,}2}{0{,}2}=\frac{0{,}08+0{,}2}{0{,}2}=\frac{0{,}28}{0{,}2}=1{,}4\ \text{м/с}.$$

3. При $$t_2=0{,}5$$:

   $$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 0{,}5^2+0{,}5}{0{,}5}=\frac{0{,}5+0{,}5}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}=2\ \text{м/с}.$$

4. При $$t_2=0{,}1$$:

   $$v_{\text{ср}}=\frac{2\cdot 0{,}1^2+0{,}1}{0{,}1}=\frac{0{,}02+0{,}1}{0{,}1}=\frac{0{,}12}{0{,}1}=1{,}2\ \text{м/с}.$$

Найдём мгновенную скорость в момент $$t=1$$. Для этого возьмём производную:

$$v(t)=s'(t)=(2t^2+t)’=4t+1.$$

Тогда

$$v(1)=4\cdot 1+1=5\ \text{м/с}.$$

Ответ

а) $$2{,}2\ \text{м/с}$$; б) $$1{,}4\ \text{м/с}$$; в) $$2\ \text{м/с}$$; г) $$1{,}2\ \text{м/с}$$; мгновенная скорость при $$t=1$$: $$5\ \text{м/с}$$.