Упр.40.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Закон движения точки по прямой задаётся формулой $$s(t)=t^2$$, где $$t$$ — время (в секундах), $$s(t)$$ — отклонение точки в момент времени $$t$$ (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента $$t_1=0\ \text{с}$$ до момента:
   а) $$t_2=0{,}1\ \text{с}$$;
   б) $$t_2=0{,}01\ \text{с}$$;
   в) $$t_2=0{,}2\ \text{с}$$;
   г) $$t_2=0{,}001\ \text{с}$$. Вычислите мгновенную скорость точки в момент $$t=1\ \text{с}$$.

Средняя скорость на промежутке $$[0;t_2]$$ равна

$$v_{\text{ср}}=\frac{s(t_2)-s(0)}{t_2-0}.$$

Так как $$s(t)=t^2$$ и $$s(0)=0$$, получаем

$$v_{\text{ср}}=\frac{t_2^2}{t_2}=t_2.$$

Тогда:

• а) при $$t_2=0{,}1$$ c: $$v_{\text{ср}}=0{,}1$$ м/с;
• б) при $$t_2=0{,}01$$ c: $$v_{\text{ср}}=0{,}01$$ м/с;
• в) при $$t_2=0{,}2$$ c: $$v_{\text{ср}}=0{,}2$$ м/с;
• г) при $$t_2=0{,}001$$ c: $$v_{\text{ср}}=0{,}001$$ м/с.

Мгновенная скорость:

$$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(t+\Delta t)^2-t^2}{\Delta t}$$

$$=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{2t\Delta t+(\Delta t)^2}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}(2t+\Delta t)=2t.$$

При $$t=1$$ c:

$$v(1)=2\cdot 1=2$$ м/с.

Ответ

а) $$0{,}1$$ м/с; б) $$0{,}01$$ м/с; в) $$0{,}2$$ м/с; г) $$0{,}001$$ м/с; $$v(1)=2$$ м/с.