Упр.40.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производную в точке $$x_0$$ по определению.

а)

$$f(x)= \begin{cases} 3x, & x \ge 0,\\ -2x+3, & x<0, \end{cases} \qquad x_0=0.$$

При $$\Delta x>0$$ имеем $$f(\Delta x)=3\Delta x$$, поэтому

$$\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \frac{3\Delta x-0}{\Delta x}=3.$$

При $$\Delta x<0$$ имеем $$f(\Delta x)=-2\Delta x+3$$, а $$f(0)=0$$, значит

$$\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x+3-0}{\Delta x}.$$

Здесь предел при $$\Delta x\to 0$$ не существует как общий предел, так как функция имеет разрыв в точке $$x=0$$. Следовательно, производная в этой точке не существует.

б)

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2, & x \ge 0,\\ -2x^2, & x<0, \end{cases} \qquad x_0=0.$$

Точка $$x_0=0$$ принадлежит ветви $$f(x)=2x^2$$, поэтому

$$\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} = \frac{2(\Delta x)^2-0}{\Delta x} = 2\Delta x.$$

Тогда

$$f'(0)=\lim_{\Delta x\to 0}2\Delta x=0.$$

в)

$$f(x)= \begin{cases} 4x+2, & x \ge 3,\\ 2x-4, & x<3, \end{cases} \qquad x_0=3.$$

Найдём односторонние пределы:

$$f(3)=4\cdot 3+2=14, \qquad \lim_{x\to 3-0}f(x)=2\cdot 3-4=2.$$

Так как левый и правый пределы различны, в точке $$x=3$$ разрыв. Значит, производная не существует.

г)

$$f(x)= \begin{cases} x^2, & x \le 1,\\ 2x-1, & x>1, \end{cases} \qquad x_0=1.$$

Точка $$x_0=1$$ принадлежит ветви $$f(x)=x^2$$, поэтому

$$\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \frac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x} = \frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} = 2+\Delta x.$$

Следовательно,

$$f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}(2+\Delta x)=2.$$

Ответ

а) не существует; б) $$0$$; в) не существует; г) $$2$$.