Упр.4.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сравним числа, используя возведение в квадрат и свойства корней.

1. $$a=1+\sqrt5,\quad b=\sqrt{11}.$$

   Проверим, может ли быть $$a>b$$:

   $$1+\sqrt5>\sqrt{11}$$

   $$\left(1+\sqrt5\right)^2>\left(\sqrt{11}\right)^2$$

   $$1+2\sqrt5+5>11$$

   $$2\sqrt5>5$$

   $$\left(2\sqrt5\right)^2>5^2$$

   $$20>25$$

   Это неверно, значит $$a<b$$.

2. $$a=\sqrt7-\sqrt{19},\quad b=\sqrt5-\sqrt{21}.$$

   Сравним числа, прибавив к обеим частям $$\sqrt{19}+\sqrt{21}$$:

   $$\sqrt7-\sqrt{19}>\sqrt5-\sqrt{21}$$

   $$\sqrt7+\sqrt{21}>\sqrt5+\sqrt{19}$$

   Так как $$\sqrt7>\sqrt5$$ и $$\sqrt{21}>\sqrt{19}$$, неравенство верно. Значит, $$a>b$$.

3. $$a=\sqrt{29},\quad b=1+\sqrt{19}.$$

   Проверим, может ли быть $$a>b$$:

   $$\sqrt{29}>1+\sqrt{19}$$

   $$29>\left(1+\sqrt{19}\right)^2$$

   $$29>1+2\sqrt{19}+19$$

   $$9>2\sqrt{19}$$

   $$81>4\cdot 19$$

   $$81>76$$

   Это верно, значит $$a>b$$.

4. $$a=\sqrt{17}-\sqrt{59},\quad b=\sqrt{15}-\sqrt{61}.$$

   Сравним числа, прибавив к обеим частям $$\sqrt{59}+\sqrt{61}$$:

   $$\sqrt{17}-\sqrt{59}>\sqrt{15}-\sqrt{61}$$

   $$\sqrt{17}+\sqrt{61}>\sqrt{15}+\sqrt{59}$$

   Так как $$\sqrt{17}>\sqrt{15}$$ и $$\sqrt{61}>\sqrt{59}$$, неравенство верно. Значит, $$a>b$$.

Ответ: а) $$a<b$$; б) $$a>b$$; в) $$a>b$$; г) $$a>b$$.