Упр.4.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке: а) $$[1; 2]$$; б) $$[1; 1{,}2]$$? Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это.

Пусть $$b_1, b_2, \dots, b_n$$ — геометрическая прогрессия, все члены которой различны и лежат на отрезке $$[1;2]$$.

Тогда все её члены положительны, значит $$b_1>0$$ и $$q>0$$. Кроме того, так как члены прогрессии различны, то $$q\ne 1$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$0<q<1$$, то при увеличении номера члены прогрессии убывают. Тогда для достаточно большого $$n$$ число $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$ станет сколь угодно малым, то есть окажется меньше $$1$$. Это невозможно, так как все члены должны лежать на отрезке $$[1;2]$$.

2. Если $$q>1$$, то члены прогрессии возрастают. Тогда для достаточно большого $$n$$ число $$b_n=b_1q^{\,n-1}$$ станет больше $$2$$. Это тоже невозможно, так как все члены должны лежать на отрезке $$[1;2]$$.

Следовательно, геометрической прогрессии, все члены которой различны и расположены на отрезке $$[1;2]$$, не существует.

Аналогично доказывается, что такой прогрессии не существует и на отрезке $$[1;1{,}2]$$.

Ответ: не существует.