Упр.4.34(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Пусть $$a \in [-4; 0]$$. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий все числа вида: а) $$1 + 2a^2$$; в) $$5a^3$$.
Рассмотрим значения выражений на концах отрезка $$a\in[-4;0].$$
$$1+2a^2$$
Так как $$a^2\ge 0,$$ то наибольшее значение достигается при $$a=-4,$$ а наименьшее — при $$a=0.$$
$$1+2\cdot(-4)^2=1+32=33,$$
$$1+2\cdot 0^2=1.$$
Следовательно, искомый отрезок:
$$[1;33].$$
$$5a+a^2=a^2+5a$$
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина имеет абсциссу
$$a_0=-\frac{5}{2}.$$
Значение в вершине:
$$\left(-\frac{5}{2}\right)^2+5\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{4}=-6{,}25.$$
На концах отрезка:
$$(-4)^2+5\cdot(-4)=16-20=-4,$$
$$0^2+5\cdot 0=0.$$
Значит, искомый отрезок:
$$\left[-6{,}25;0\right].$$
$$5a^3$$
Функция $$a^3$$ возрастает, значит на отрезке $$[-4;0]$$ наименьшее значение достигается при $$a=-4,$$ а наибольшее — при $$a=0.$$
$$5\cdot(-4)^3=5\cdot(-64)=-320,$$
$$5\cdot 0^3=0.$$
Искомый отрезок:
$$[-320;0].$$
$$\frac{2a+1}{3a-1}$$
На отрезке $$[-4;0]$$ знаменатель не обращается в нуль, так как $$3a-1\ne 0.$$
Проверим значения на концах:
$$\frac{2\cdot(-4)+1}{3\cdot(-4)-1}=\frac{-8+1}{-12-1}=\frac{-7}{-13}=\frac{7}{13},$$
$$\frac{2\cdot 0+1}{3\cdot 0-1}=\frac{1}{-1}=-1.$$
Следовательно, искомый отрезок:
$$\left[-1;\frac{7}{13}\right].$$
