Упр.4.32(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график заданной функции на отрезке $$[-4; 4]$$:

• а) $$y=[x]$$;
• в) $$y=[x+4]$$;
• б) $$y=[1-x]$$;
• г) $$y=\text{р~2^]}$$.

Построим графики на отрезке $$[-4;4]$$, учитывая, что функция $$y=[x]$$ — это целая часть числа.

а)

Для функции $$y=[x]$$ на каждом промежутке между соседними целыми числами значение постоянно:

$$\begin{aligned} &y=-4,\quad x\in[-4;-3),\\ &y=-3,\quad x\in[-3;-2),\\ &y=-2,\quad x\in[-2;-1),\\ &y=-1,\quad x\in[-1;0),\\ &y=0,\quad x\in[0;1),\\ &y=1,\quad x\in[1;2),\\ &y=2,\quad x\in[2;3),\\ &y=3,\quad x\in[3;4),\\ &y=4,\quad x=4. \end{aligned}$$

б)

$$y=[1-x]$$. Обозначим $$t=1-x$$. Тогда при движении по отрезку $$[-4;4]$$ получаем:

$$\begin{aligned} &x=-4 \Rightarrow y=[5]=5,\\ &x\in(-4;-3] \Rightarrow 4<1-x\le 5 \Rightarrow y=4,\\ &x\in(-3;-2] \Rightarrow 3<1-x\le 4 \Rightarrow y=3,\\ &x\in(-2;-1] \Rightarrow 2<1-x\le 3 \Rightarrow y=2,\\ &x\in(-1;0] \Rightarrow 1<1-x\le 2 \Rightarrow y=1,\\ &x\in(0;1] \Rightarrow 0<1-x\le 1 \Rightarrow y=0,\\ &x\in(1;2] \Rightarrow -1<1-x\le 0 \Rightarrow y=-1,\\ &x\in(2;3] \Rightarrow -2<1-x\le -1 \Rightarrow y=-2,\\ &x\in(3;4] \Rightarrow -3<1-x\le -2 \Rightarrow y=-3. \end{aligned}$$

в)

$$y=[x+4]$$. Это график функции $$y=[x]$$, сдвинутый на $$4$$ единицы влево. Поэтому

$$\begin{aligned} &y=0,\quad x\in[-4;-3),\\ &y=1,\quad x\in[-3;-2),\\ &y=2,\quad x\in[-2;-1),\\ &y=3,\quad x\in[-1;0),\\ &y=4,\quad x\in[0;1),\\ &y=5,\quad x\in[1;2),\\ &y=6,\quad x\in[2;3),\\ &y=7,\quad x\in[3;4),\\ &y=8,\quad x=4. \end{aligned}$$

г)

$$y=\left[\frac{1-x}{2}\right]$$. Найдём значения на промежутках отрезка $$[-4;4]$$:

$$\begin{aligned} &x\in[-4;-3] \Rightarrow 2\le \frac{1-x}{2}<2{,}5 \Rightarrow y=2,\\ &x\in(-3;-1] \Rightarrow 1\le \frac{1-x}{2}<2 \Rightarrow y=1,\\ &x\in(-1;1] \Rightarrow 0\le \frac{1-x}{2}<1 \Rightarrow y=0,\\ &x\in(1;3] \Rightarrow -1\le \frac{1-x}{2}<0 \Rightarrow y=-1,\\ &x\in(3;4] \Rightarrow -2\le \frac{1-x}{2}<-1 \Rightarrow y=-2. \end{aligned}$$

Ответ: графики функций на отрезке $$[-4;4]$$ имеют вид ступенчатых линий, а для $$y=\left[\frac{1-x}{2}\right]$$:
$$y= \begin{cases} 2, & -4\le x\le -3,\\ 1, & -3<x\le -1,\\ 0, & -1<x\le 1,\\ -1, & 1<x\le 3,\\ -2, & 3<x\le 4. \end{cases}$$