Упр.4.27(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 4.27. Постройте на координатной плоскости $$xOy$$ график соотношения: а) $$[x]=[y]$$; в) $$[x]<[y]$$; б) $$[x]>[y]$$; г) $$[x-1]>[y+1]$$.

Используем свойство целой части: если $$n \le x < n+1,$$ то $$[x]=n,$$ где $$n\in \mathbb{Z}.$$

1. $$[x]=[y]$$

   Пусть $$[x]=[y]=n,$$ тогда

   $$n \le x < n+1,\qquad n \le y < n+1,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

   Значит, график — объединение квадратов $$n \le x < n+1,\; n \le y < n+1$$ для всех $$n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$[x]>[y]$$

   Пусть $$[y]=n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$y\in [n,n+1),$$ а из условия $$[x]>n$$ следует $$[x]\ge n+1,$$ то есть $$x\ge n+1.$$

   Следовательно, нужно построить объединение множеств

   $$x \ge n+1,\qquad n \le y < n+1,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$[x]<[y]$$

   Аналогично, пусть $$[x]=n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$x\in [n,n+1),$$ а из условия $$[y]>n$$ получаем $$[y]\ge n+1,$$ то есть $$y\ge n+1.$$

   Значит, график задаётся системой

   $$n \le x < n+1,\qquad y \ge n+1,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$[x-1]>[y+1]$$

   Пусть $$[y+1]=n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ Тогда $$n \le y+1 < n+1,$$ откуда

   $$n-1 \le y < n.$$

   Из условия $$[x-1]>n$$ следует $$[x-1]\ge n+1,$$ значит

   $$x-1 \ge n+1,\qquad x \ge n+2.$$

   Итак, график — объединение множеств

   $$x \ge n+2,\qquad n-1 \le y < n,\qquad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: графики — объединения указанных ступенчатых областей, задаваемых соответствующими системами неравенств.