Упр.4.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 4-21. При каких $$e>0$$ точка $$12{,}35$$ лежит в $$e$$-окрестности точки:

Точка $$x$$ лежит в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$a$$, если выполняется неравенство

$$a-\varepsilon<x<a+\varepsilon.$$

1. Для точки $$12{,}35$$ в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$12{,}5$$ имеем:

   $$12{,}5-\varepsilon<12{,}35<12{,}5+\varepsilon.$$

   Из левой части:

   $$12{,}5-\varepsilon<12{,}35$$

   $$-\varepsilon<-0{,}15$$

   $$\varepsilon>0{,}15.$$

   Правая часть даёт:

   $$12{,}35<12{,}5+\varepsilon \;\Rightarrow\; -0{,}15<\varepsilon,$$

   что также означает $$\varepsilon>0{,}15.$$

   Ответ: $$\varepsilon>0{,}15.$$

2. Для точки $$12{,}35$$ в $$\varepsilon$$-окрестности точки $$12{,}2$$ имеем:

   $$12{,}2-\varepsilon<12{,}35<12{,}2+\varepsilon.$$

   Из левой части:

   $$12{,}2-\varepsilon<12{,}35$$

   $$-\varepsilon<0{,}15$$

   $$\varepsilon>-0{,}15.$$

   Так как по условию $$\varepsilon>0$$, это неравенство выполняется автоматически.

   Из правой части:

   $$12{,}35<12{,}2+\varepsilon$$

   $$0{,}15<\varepsilon,$$

   то есть $$\varepsilon>0{,}15.$$

   Ответ: $$\varepsilon>0{,}15.$$