Упр.4.2(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Отметьте на числовой прямой нули функции $$y=(x-1\ 2(31х-37\ (41x-49)$$;
   б) определите промежутки знакопостоянства функции $$y=(x-1\ 2(31х-37\ (41x-49)$$;
   в) отметьте на числовой прямой нули функции $$y=(49x+59\ 2(31х+37\ 3(41х+49)$$;
   г) определите промежутки знакопостоянства функции $$y=(49x+59\ 2(31х+37\ 3(41х+49)$$.

Рассмотрим функцию $$y=(x-1)^2(31x-37)(41x-49).$$

а) Нули функции

Нули функции находим из уравнения

$$(x-1)^2(31x-37)(41x-49)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$

$$31x-37=0 \Rightarrow x=\frac{37}{31},$$

$$41x-49=0 \Rightarrow x=\frac{49}{41}.$$

Итак, нули функции: $$x=1,\ \frac{37}{31},\ \frac{49}{41}.$$

б) Промежутки знакопостоянства

Так как множитель $$(x-1)^2$$ всегда неотрицателен и не меняет знак при переходе через $$x=1,$$ знак функции определяется множителями $$31x-37$$ и $$41x-49.$$

Упорядочим нули:

$$1<\frac{49}{41}<\frac{37}{31}.$$

Проверяем знак на промежутках:

• при $$x<1$$ имеем $$y>0$$;
• при $$1<x<\frac{49}{41}$$ имеем $$y>0$$;
• при $$\frac{49}{41}<x<\frac{37}{31}$$ имеем $$y<0$$;
• при $$x>\frac{37}{31}$$ имеем $$y>0$$.

Значит, $$y>0$$ на промежутках $$(-\infty,1)\cup(1,\frac{49}{41})\cup(\frac{37}{31},+\infty),$$ а $$y<0$$ на промежутке $$\left(\frac{49}{41},\frac{37}{31}\right).$$

в) Нули функции

Рассмотрим функцию

$$y=(49x+59)^2(31x+37)^3(41x+49).$$

Нули находим из уравнения

$$(49x+59)^2(31x+37)^3(41x+49)=0.$$

Отсюда:

$$49x+59=0 \Rightarrow x=-\frac{59}{49},$$

$$31x+37=0 \Rightarrow x=-\frac{37}{31},$$

$$41x+49=0 \Rightarrow x=-\frac{49}{41}.$$

Итак, нули функции: $$x=-\frac{59}{49},\ -\frac{37}{31},\ -\frac{49}{41}.$$

г) Промежутки знакопостоянства

Учитываем чётность степеней множителей:

• $$(49x+59)^2$$ знак не меняет;
• $$(31x+37)^3$$ знак меняет;
• $$(41x+49)$$ знак меняет.

Упорядочим нули:

$$-\frac{59}{49}<-\frac{49}{41}<-\frac{37}{31}.$$

Тогда знак функции меняется только в точках $$x=-\frac{49}{41}$$ и $$x=-\frac{37}{31},$$ а в точке $$x=-\frac{59}{49}$$ не меняется.

Получаем:

• $$y>0$$ на $$\left(-\infty,-\frac{59}{49}\right)\cup\left(-\frac{59}{49},-\frac{49}{41}\right)\cup\left(-\frac{37}{31},+\infty\right);$$
• $$y<0$$ на $$\left(-\frac{49}{41},-\frac{37}{31}\right).$$

Ответ: а) $$1,\ \frac{37}{31},\ \frac{49}{41}$$; б) $$y>0$$ на $$(-\infty,1)\cup(1,\frac{49}{41})\cup(\frac{37}{31},+\infty),\ y<0$$ на $$\left(\frac{49}{41},\frac{37}{31}\right)$$; в) $$-\frac{59}{49},\ -\frac{37}{31},\ -\frac{49}{41}$$; г) $$y>0$$ на $$\left(-\infty,-\frac{59}{49}\right)\cup\left(-\frac{59}{49},-\frac{49}{41}\right)\cup\left(-\frac{37}{31},+\infty\right),\ y<0$$ на $$\left(-\frac{49}{41},-\frac{37}{31}\right).$$