Упр.4.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

На числовой прямой отмечены точки $$A(12a+6a^2)$$ и $$B(-2a+3)$$. При каких значениях $$a$$ точка $$C$$ лежит между $$A$$ и $$B$$, если:
а) $$C(-2)$$;
б) $$C(a$$?

Пусть $$A=12a+6a^2,\quad B=-2a+3.$$

а) $$C(-2)$$

Точка $$C$$ лежит между $$A$$ и $$B$$, если выполняется одно из двух условий:

• $$A<C<B$$,
• $$B<C<A$$.

1) Если $$A<-2<B$$, то

$$\begin{aligned} 12a+6a^2 < -2,\\ -2a+3 > -2. \end{aligned}$$

Из первого неравенства:

$$\begin{aligned} 6a^2+12a+2 < 0,\\ 3a^2+6a+1 < 0. \end{aligned}$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$a=\frac{-6\pm\sqrt{36-12}}{6}=-1\pm\frac{\sqrt6}{3}.$$

Значит,

$$-1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}.$$

Из второго неравенства:

$$-2a+3>-2,\quad -2a>-5,\quad a<\frac52.$$

Пересечение даёт:

$$-1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}.$$

2) Если $$B<-2<A$$, то

$$\begin{aligned} -2a+3 < -2,\\ 12a+6a^2 > -2. \end{aligned}$$

Из первого неравенства:

$$-2a<-5,\quad a>\frac52.$$

Но тогда второе неравенство также выполняется, поэтому получаем

$$a>\frac52.$$

Итак,

$$-1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}\quad \text{или}\quad a>\frac52.$$

б) $$C(a)$$

Аналогично рассматриваем два случая.

1) Если $$A<a<B$$, то

$$\begin{aligned} 12a+6a^2 < a,\\ a < -2a+3. \end{aligned}$$

Первое неравенство:

$$6a^2+11a<0,\quad a(6a+11)<0.$$

Отсюда

$$-\frac{11}{6}<a<0.$$

Второе неравенство:

$$3a<3,\quad a<1.$$

Пересечение:

$$-\frac{11}{6}<a<0.$$

2) Если $$B<a<A$$, то

$$\begin{aligned} -2a+3 < a,\\ a < 12a+6a^2. \end{aligned}$$

Из первого неравенства:

$$-3a<-3,\quad a>1.$$

Второе неравенство при $$a>1$$ также выполняется, значит получаем

$$a>1.$$

Ответ

а) $$-1-\frac{\sqrt6}{3}<a<-1+\frac{\sqrt6}{3}$$ или $$a>\frac52$$;

б) $$-\frac{11}{6}<a<0$$ или $$a>1$$.