Упр.4.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На числовой прямой отмечены точки $$A(2a-6a^2)$$ и $$B(2a-3)$$. При каких значениях $$a$$ точка $$C$$ лежит между $$A$$ и $$B$$, если:
   а) $$C(2)$$;
   б) $$C(-1)$$?

а) Чтобы точка $$C(2)$$ лежала между точками $$A(2a-6a^2)$$ и $$B(2a-3)$$, числа $$2a-6a^2$$ и $$2a-3$$ должны находиться по разные стороны от числа $$2$$:

$$\begin{cases} 2a-6a^2<2,\\ 2a-3>2 \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$2a-6a^2-2<0$$

$$3a^2-a+1>0$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 1=1-12=-11<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$3a^2-a+1>0$$ при любом $$a$$.

Из второго неравенства:

$$2a-3>2$$

$$2a>5$$

$$a&gt{\frac52}$$

Следовательно, при $$a&gt{\frac52}$$ точка $$C(2)$$ лежит между $$A$$ и $$B$$.

б) Для точки $$C(-1)$$ получаем систему:

$$\begin{cases} 2a-6a^2<-1,\\ 2a-3>-1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 2a-6a^2>-1,\\ 2a-3<-1 \end{cases}$$

Рассмотрим первый случай:

$$2a-6a^2<-1$$

$$6a^2-2a-1>0$$

Найдём корни уравнения $$6a^2-2a-1=0$$:

$$D=(-2)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=4+24=28$$

$$a=\frac{2\pm\sqrt{28}}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6}$$

Тогда

$$6a^2-2a-1>0 \iff a&lt{\frac{1-\sqrt7}{6}} \ \text{или}\ a&gt{\frac{1+\sqrt7}{6}}$$

Из второго неравенства:

$$2a-3>-1$$

$$2a>2$$

$$a&gt1$$

Пересечение даёт:

$$a&gt{\frac{1+\sqrt7}{6}}$$

Во втором случае:

$$2a-6a^2>-1$$

$$6a^2-2a-1&lt0$$

$$\frac{1-\sqrt7}{6}&lt a&lt \frac{1+\sqrt7}{6}$$

и одновременно

$$2a-3&lt-1$$

$$a&lt1$$

Значит,

$$\frac{1-\sqrt7}{6}&lt a&lt1$$

Ответ: а) $$a&gt{\frac52}$$; б) $$\frac{1-\sqrt7}{6}&lt a&lt1$$ или $$a&gt{\frac{1+\sqrt7}{6}}$$.