Упр.4.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) На числовой прямой отмечены точки $$-3$$ и $$1$$. При помощи циркуля и линейки постройте точки $$0$$ и $$5$$.
   б) На числовой прямой отмечены точки $$-\sqrt{2}$$ и $$3$$. При помощи циркуля и линейки постройте точку $$0$$.

а) Интервал $$\left(8;9\right)$$ можно записать как $$8<a<9.$$

Предположим, что в этом интервале есть наименьшее число. Тогда оно имеет вид

$$a=8+\frac{n}{m},$$

где $$\frac{n}{m}$$ — наименьшее положительное число.

Но для любого такого числа можно взять ещё меньшее:

$$\frac{n}{m+1}<\frac{n}{m}.$$

Значит, наименьшего числа в интервале $$\left(8;9\right)$$ не существует. Аналогично не существует и наибольшего числа.

б) Решим неравенство:

$$x^2<5$$

$$x^2-5<0$$

$$\left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)<0$$

Отсюда

$$-\sqrt5<x<\sqrt5.$$

Предположим, что среди этих чисел есть наименьшее или наибольшее. Тогда соответствующее расстояние до конца промежутка можно записать в виде $$\frac{n}{m}$$ — наименьшего положительного числа. Но всегда можно взять меньшее положительное число, например

$$\frac{n}{m+1}<\frac{n}{m}.$$

Следовательно, в множестве решений неравенства $$x^2<5$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Ответ

а) В интервале $$\left(8;9\right)$$ нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.
б) Среди чисел, удовлетворяющих неравенству $$x^2<5$$, нет ни наименьшего, ни наибольшего числа.