Упр.39.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$y=f(x)$$ найдите $$\lim$$ при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$, если:
   а) $$f(x)=kx+b$$;
   б) $$f(x)=ax^2$$;
   в) $$f(x)=\frac{1}{x}$$;
   г) $$f(x)=\sqrt{x}$$.

Найдём предел отношения приращений для каждой функции.

1. $$f(x)=kx+b$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{k(x+\Delta x)+b-(kx+b)}{\Delta x}=\frac{k\Delta x}{\Delta x}=k$$

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=k$$

2. $$f(x)=ax^2$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x}=\frac{a(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)-ax^2}{\Delta x}$$
   $$=\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x}=2ax+a\Delta x$$

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2ax+a\Delta x)=2ax$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\left(-\frac{1}{x(x+\Delta x)}\right)=-\frac{1}{x^2}$$

4. $$f(x)=\sqrt{x}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$$
   $$=\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$$
   $$=\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$$

   $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: а) $$k$$; б) $$2ax$$; в) $$-\frac{1}{x^2}$$; г) $$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$.