Упр.39.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Для функции $$y=f(x)$$ найдите при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$, если: а) $$f(x)=kx+b$$; б) $$f(x)=ax^2$$; в) $$f(x)=\frac{1}{x}$$; г) $$f(x)=\sqrt{x}$$.

Найдём отношение $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ для каждой функции.

1. $$f(x)=kx+b$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{k(x+\Delta x)+b-(kx+b)}{\Delta x}=\frac{k\Delta x}{\Delta x}=k.$$

2. $$f(x)=ax^2$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x}=\frac{a(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2)-ax^2}{\Delta x}$$
   $$=\frac{2ax\Delta x+a(\Delta x)^2}{\Delta x}=2ax+a\Delta x.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x}=-\frac{1}{x(x+\Delta x)}.$$

4. $$f(x)=\sqrt{x}$$

   $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}=\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$$
   $$=\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}.$$

Ответ: а) $$k$$; б) $$2ax+a\Delta x$$; в) $$-\frac{1}{x(x+\Delta x)}$$; г) $$\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$$.