Упр.39.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Для функции $$y=f(x)$$ найдите $$\Delta f$$ при переходе от точки $$x$$ к точке $$x+\Delta x$$, если:
а) $$f(x)=kx+m$$;
б) $$f(x)=ax^2$$;
в) $$f(x)=\frac{1}{x}$$;
г) $$f(x)=\sqrt{x}$$.
Найдём приращение функции по формуле $$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x).$$
Если $$f(x)=kx+m,$$ то
$$\Delta f=k(x+\Delta x)+m-(kx+m)=k\Delta x.$$
Если $$f(x)=ax^2,$$ то
$$\Delta f=a(x+\Delta x)^2-ax^2$$
$$=a\bigl(x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2\bigr)-ax^2=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2.$$
Если $$f(x)=\frac{1}{x},$$ то
$$\Delta f=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}=-\frac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}.$$
Если $$f(x)=\sqrt{x},$$ то
$$\Delta f=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}.$$
Ответ: а) $$\Delta f=k\Delta x$$; б) $$\Delta f=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2$$; в) $$\Delta f=-\dfrac{\Delta x}{x(x+\Delta x)}$$; г) $$\Delta f=\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}$$.
