Упр.39.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\lim \frac{1-\cos x}{x^2}$$; б) $$\lim \frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}$$.

Используем первый замечательный предел:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

а)

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac12\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 = \frac12\cdot 1^2 = \frac12.$$

б)

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cos 5x\sin 2x}{2\cos 5x\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}.$$

Приведём к первому замечательному пределу:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{2x}{3x}\cdot \frac{\sin 2x}{2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x} = \frac23\cdot 1\cdot 1 = \frac23.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac23$$.