Упр.39.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\lim \frac{x+2}{x^3+8}$$; б) $$\lim \frac{x^3+1}{1-x^2}$$; в) $$\lim \frac{x-3}{x^3-3}$$; г) $$\lim \frac{16-x^2}{64-x^3}$$.

Разложим многочлены на множители и сократим дроби:

1. $$\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^3+8}=\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\lim_{x\to -2}\frac{1}{x^2-2x+4}$$
   $$=\frac{1}{(-2)^2-2\cdot(-2)+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}.$$
2. $$\lim_{x\to -1}\frac{x^3+1}{1-x^2}=\lim_{x\to -1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(1-x)(1+x)}=\lim_{x\to -1}\frac{x^2-x+1}{1-x}$$
   $$=\frac{(-1)^2-(-1)+1}{1-(-1)}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}.$$
3. $$\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x^3-27}=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{1}{x^2+3x+9}$$
   $$=\frac{1}{3^2+3\cdot 3+9}=\frac{1}{9+9+9}=\frac{1}{27}.$$
4. $$\lim_{x\to 4}\frac{16-x^2}{64-x^3}=\lim_{x\to 4}\frac{(4-x)(4+x)}{(4-x)(16+4x+x^2)}=\lim_{x\to 4}\frac{4+x}{16+4x+x^2}$$
   $$=\frac{4+4}{16+4\cdot 4+4^2}=\frac{8}{16+16+16}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$\frac{1}{27}$$; г) $$\frac{1}{6}$$.