Упр.38.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для каждой последовательности найдём наименьший номер $$n$$, начиная с которого выполняется неравенство $$|x_n-a|

1. $$x_n=\left(\frac13\right)^n,\quad a=0,\quad r=\frac1{27}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac13\right)^n<\frac1{27}=\left(\frac13\right)^3.$$

   Так как основание $$\frac13<1,$$ получаем

   $$n>3,$$

   значит, наименьшее целое $$n=4.$$

2. $$x_n=(-1)^n\cdot\frac1{2^n},\quad a=0,\quad r=\frac1{64}.$$

   Имеем

   $$\left|(-1)^n\cdot\frac1{2^n}-0\right|=\frac1{2^n}<\frac1{64}=\frac1{2^6}.$$

   Следовательно,

   $$n>6,$$

   значит, наименьшее целое $$n=7.$$

3. $$x_n=2+\left(\frac12\right)^n,\quad a=2,\quad r=\frac1{128}.$$

   Тогда

   $$\left(\frac12\right)^n<\frac1{128}=\frac1{2^7}.$$

   Отсюда

   $$n>7,$$

   значит, наименьшее целое $$n=8.$$

4. $$x_n=3-\left(\frac13\right)^n,\quad a=3,\quad r=\frac1{81}.$$

   Имеем

   $$\left|3-\left(\frac13\right)^n-3\right|=\left(\frac13\right)^n<\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4.$$

   Следовательно,

   $$n>4,$$

   значит, наименьшее целое $$n=5.$$

Ответ: а) $$4$$; б) $$7$$; в) $$8$$; г) $$5$$.