Упр.38.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Укажите номер $$n_0$$ того члена последовательности $$(x_n)$$, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки $$a$$ радиуса $$r$$:

а) $$x_n=\frac{1}{2n}$$, $$a=0$$, $$r=0{,}1$$;

б) $$x_n=3+\frac{1}{n^2}$$, $$a=3$$, $$r=0{,}2$$;

в) $$x_n=1+\frac{2}{n^2}$$, $$a=1$$, $$r=0{,}01$$;

г) $$x_n=-\frac{3}{n}$$, $$a=0$$, $$r=0{,}1$$.

Подробный ответ

Для того чтобы все члены последовательности, начиная с некоторого номера $$n_0$$, попадали в окрестность точки $$a$$ радиуса $$r$$, нужно выполнить неравенство

$$|x_n-a|<r.$$

$$x_n=\frac{1}{2n},\quad a=0,\quad r=0{,}1.$$
$$\left|\frac{1}{2n}-0\right|<0{,}1$$
$$\frac{1}{2n}<\frac{1}{10}$$
$$10<2n,\quad n>5.$$
Значит, наименьшее целое $$n_0=6$$.
$$x_n=3+\frac{1}{n^2},\quad a=3,\quad r=0{,}2.$$
$$\left|3+\frac{1}{n^2}-3\right|<0{,}2$$
$$\frac{1}{n^2}<0{,}2=\frac{1}{5}$$
$$n^2>5,\quad n>\sqrt{5}.$$
Значит, наименьшее целое $$n_0=3$$.
$$x_n=1+\frac{2}{n^2},\quad a=1,\quad r=0{,}01.$$
$$\left|1+\frac{2}{n^2}-1\right|<0{,}01$$
$$\frac{2}{n^2}<0{,}01=\frac{1}{100}$$
$$n^2>200,\quad n>\sqrt{200}\approx 14{,}14.$$
Значит, наименьшее целое $$n_0=15$$.
$$x_n=-\frac{3}{n},\quad a=0,\quad r=0{,}1.$$
$$\left|-\frac{3}{n}-0\right|<0{,}1$$
$$\frac{3}{n}<0{,}1$$
$$3<0{,}1n,\quad n>30.$$
Значит, наименьшее целое $$n_0=31$$.