Упр.38.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Существует ли номер $$n_0$$, начиная с которого все члены последовательности $$\left(x_n\right)$$ попадают в окрестность точки $$a$$ радиуса $$r=0{,}1$$, если:
   а) $$x_n=\frac{1}{n^2}$$, $$a=0$$;
   б) $$x_n=\frac{1}{n^2}$$, $$a=1$$;
   в) $$x_n=\frac{n}{n+1}$$, $$a=0$$;
   г) $$x_n=\frac{n}{n+1}$$, $$a=1$$?

Рассмотрим, при каких значениях $$n$$ выполняется неравенство $$a-r<x_n<a+r,$$ где $$r=0{,}1$$.

1. $$x_n=\frac{1}{n^2},\quad a=0.$$

   Тогда

   $$-0{,}1<\frac{1}{n^2}<0{,}1.$$

   Так как $$\frac{1}{n^2}>0,$$ достаточно решить

   $$\frac{1}{n^2}<0{,}1=\frac{1}{10}.$$

   Получаем

   $$n^2>10,\qquad n>\sqrt{10}.$$

   Значит, начиная с $$n=4,$$ все члены последовательности попадают в окрестность точки $$0$$ радиуса $$0{,}1$$.

2. $$x_n=\frac{1}{n^2},\quad a=1.$$

   Нужно, чтобы

   $$0{,}9<\frac{1}{n^2}<1{,}1.$$

   Но для всех $$n\ge 1$$ имеем $$\frac{1}{n^2}\le 1,$$ и уже при больших $$n$$ значения последовательности стремятся к $$0$$, а не к $$1$$. Неравенство $$0{,}9<\frac{1}{n^2}$$ выполняется только при очень малых $$n$$, но не начиная с некоторого номера для всех членов последовательности.

   Следовательно, такого номера $$n_0$$ не существует.

3. $$x_n=\frac{n}{n+1},\quad a=0.$$

   Тогда

   $$-0{,}1<\frac{n}{n+1}<0{,}1.$$

   Но $$\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},$$ и при больших $$n$$ эта последовательность стремится к $$1$$, а не к $$0$$. Поэтому начиная с некоторого номера все члены последовательности не могут попасть в окрестность точки $$0$$ радиуса $$0{,}1$$.

   Ответ: нет.

4. $$x_n=\frac{n}{n+1},\quad a=1.$$

   Имеем

   $$1-0{,}1<\frac{n}{n+1}<1+0{,}1.$$

   То есть

   $$0{,}9<\frac{n}{n+1}<1{,}1.$$

   Так как $$\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},$$ достаточно решить

   $$1-\frac{1}{n+1}>0{,}9,$$

   откуда

   $$\frac{1}{n+1}<0{,}1=\frac{1}{10},\qquad n+1>10,\qquad n>9.$$

   Значит, начиная с $$n=10,$$ все члены последовательности попадают в окрестность точки $$1$$ радиуса $$0{,}1$$.

Ответ: а) да, начиная с $$n=4$$; б) нет; в) нет; г) да, начиная с $$n=10$$.