Упр.38.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\frac{1}{x}+x+x^2+x^3+x^4+\ldots+x^n+\ldots=\frac{7}{2}$$
2. б) $$2x+1+x^2-x^3+x^4-x^5+\ldots=\frac{13}{6}$$

а) Сумма бесконечной геометрической прогрессии, начиная со второго члена, равна

$$S=\frac{x}{1-x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{x}+\frac{x}{1-x}=\frac{7}{2}.$$

Умножим на $$2x(1-x)$$:

$$2(1-x)+2x^2=7x(1-x).$$

$$2-2x+2x^2=7x-7x^2.$$

$$9x^2-9x+2=0.$$

$$D=(-9)^2-4\cdot 9\cdot 2=81-72=9.$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 3}{18}.$$

$$x_1=\frac{2}{3},\qquad x_2=\frac{1}{3}.$$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1$$.

Ответ: $$\frac{2}{3};\ \frac{1}{3}.$$

б) Начиная с третьего члена, получаем геометрическую прогрессию с первым членом $$x^2$$ и знаменателем $$q=-x$$. Поэтому

$$S=2x+1+\frac{x^2}{1+x}.$$

Тогда

$$2x+1+\frac{x^2}{1+x}=\frac{13}{6}.$$

Умножим на $$6(1+x)$$:

$$6(1+x)(2x+1)+6x^2=13(1+x).$$

$$12x^2+18x+6+6x^2=13+13x.$$

$$18x^2+5x-7=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 18\cdot(-7)=25+504=529=23^2.$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 23}{36}.$$

$$x_1=-\frac{7}{9},\qquad x_2=\frac{1}{2}.$$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1$$.

Ответ: $$-\frac{7}{9};\ \frac{1}{2}.$$