Упр.38.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение при $$x\ne\frac{\pi n}{2}$$:
   а) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x+\ldots$$;
   б) $$\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x+\ldots$$;
   в) $$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x+\ldots$$;
   г) $$1-\sin 3x+\sin 6x-\sin 9x+\ldots$$.

Так как $$x \ne \frac{\pi n}{2},$$ то $$\sin x \ne \pm 1$$ и $$\cos x \ne 0.$$ Во всех пунктах дан бесконечный геометрический ряд.

1. $$S=\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x+\sin^4 x+\dots$$

   Первый член: $$b_1=\sin x,$$ знаменатель: $$q=\frac{\sin^2 x}{\sin x}=\sin x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$

2. $$S=\cos x-\cos^2 x+\cos^3 x-\cos^4 x+\dots$$

   Первый член: $$b_1=\cos x,$$ знаменатель: $$q=\frac{-\cos^2 x}{\cos x}=-\cos x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

3. $$S=\cos^2 x+\cos^4 x+\cos^6 x+\cos^8 x+\dots$$

   Первый член: $$b_1=\cos^2 x,$$ знаменатель: $$q=\frac{\cos^4 x}{\cos^2 x}=\cos^2 x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\ctg^2 x.$$

4. $$S=1-\sin^3 x+\sin^6 x-\sin^9 x+\dots$$

   Первый член: $$b_1=1,$$ знаменатель: $$q=\frac{-\sin^3 x}{1}=-\sin^3 x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1+\sin^3 x}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sin x}{1-\sin x}$$; б) $$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$; в) $$\ctg^2 x$$; г) $$\frac{1}{1+\sin^3 x}$$.