Упр.38.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$2+4+6+\ldots+20+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots$$;
б) $$1+3+5+\ldots+99+\frac{2}{5}-\frac{4}{25}+\frac{8}{125}-\ldots$$;
в) $$21+24+27+\ldots+51+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}+\frac{1}{27}-\ldots$$;
г) $$1+4+7+\ldots+100+0{,}1+0{,}01+0{,}001+\ldots$$.
а) Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=2,\quad a_{10}=20,\quad d=2.$$
Число её членов:
$$n=\frac{20-2}{2}+1=10.$$
Сумма:
$$S_{10}=\frac{2+20}{2}\cdot 10=110.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac12,\quad q=\frac12.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-\frac12}=1.$$
Итак,
$$S=110+1=111.$$
б) Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=1,\quad a_{50}=99,\quad d=2.$$
Число её членов:
$$n=\frac{99-1}{2}+1=50.$$
Сумма:
$$S_{50}=\frac{1+99}{2}\cdot 50=2500.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac25,\quad q=\frac{-4/25}{2/5}=-\frac25.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac25}{1+\frac25}=\frac{\frac25}{\frac75}=\frac27.$$
Следовательно,
$$S=2500+\frac27=2500\frac27.$$
в) Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=21,\quad a_{11}=51,\quad d=3.$$
Число её членов:
$$n=\frac{51-21}{3}+1=11.$$
Сумма:
$$S_{11}=\frac{21+51}{2}\cdot 11=396.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=\frac13,\quad q=\frac{-1/9}{1/3}=-\frac13.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac13}{1+\frac13}=\frac{\frac13}{\frac43}=\frac14.$$
Итак,
$$S=396+\frac14=396{,}25.$$
г) Первая часть — арифметическая прогрессия:
$$a_1=1,\quad a_{34}=100,\quad d=3.$$
Число её членов:
$$n=\frac{100-1}{3}+1=34.$$
Сумма:
$$S_{34}=\frac{1+100}{2}\cdot 34=1717.$$
Вторая часть — бесконечная геометрическая прогрессия:
$$b_1=0{,}1,\quad q=0{,}1.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}1}{0{,}9}=\frac19.$$
Следовательно,
$$S=1717+\frac19=1717\frac19.$$
Ответ
а) $$111$$; б) $$2500\frac27$$; в) $$396{,}25$$; г) $$1717\frac19$$.
